Intro till dynamiska system
Dynamiska system
Dynamiska system beskriver hur olika objekt och deras egenskaper förändras med tiden. Till exempel kan man använda dynamiska system för att beskriva hur en partikel rör sig när den utsätts för en kraft, exempelvis gravitation, hur koncentrationerna för olika ämnen förändras i en kemisk reaktion eller hur antalet fiskar i en sjö förändras från år till år.
Vanilgtvis delar man upp dynamiska system i två kategorier beroende på hur man
modellerar tiden i det dynamiska system: kontinuerliga och diskreta. De två
första exemplen ovan är kontinuerliga dynamiska system eftersom tiden ses som
ett kontinuum. Det finns inga hål. Det sista exemplet är ett diskret dynamiskt
system eftersom antalet fiskar bara ges en gång per år med ett hål emellan.
Matematiskt består ett dynamiskt system av ett rum :math:M som kallas fas
rummet och en funktion :math:F vars argument är en tidpunkt :math:t och en
punkt :math:x fasrummet och vars värde är en ny punkt :math:y=F(t,x) i
fasrummet som motsvarar punkten dit :math:x har förflyttat sig efter tiden
:math:t. Man kräver också att :math:F(0,x)=x för alla punkter :math:xi
fasrummet, d.v.s. om ingen tid har förflutit så har inte punkterna flyttat sig.
Vanligtvis består ett diskret dynamiskt system endast av en funktion :math:f
som tar punkter i fasrummet till andra punkter i fasrummet och heltal används
för att beskriva tiden som antalet iterationer av funktionen :math:x Om
punkten :math:x förflyttar sig till punkten :math:y efter en tid :math:t=n
så skriver vi :math:y=f^{n}(x) där :math:f^{n} står för :math:n
iterationer av funktionen :math:f.
Kaos
Många ickelinjära dynamiska system, till exempel de flesta dynamiska system som kommer från tillämpningar, uppvisar något som kallas kaos. Några exempel på dynamiska system med kaotiskt beteende är Lorenzsystemet som beskriver konvektion i atmosfären, Belousov-Zhabotinsky reaktionen, Chuas krets och dubbelpendeln.
En vanlig matematisk definition av kaotiska dynamiska system är att de ska uppvisa tre egenskaper. De ska vara känsliga för initialvillkor, topologiskt transitiva och deras periodiska punkter ska vara täta i fasrummet.
Ett dynamiskt system sägs vara känsligt för initialvillkor om vi godtyckligt
nära varje punkt alltid kan hitta en annan punkt vars avstånd till vår första
punkt ökar med tiden och slutligen blir större än något fixt avstånd. Detta är
en matematisk definition av den välkända fjärilseffekten som säger att små
förändringar med tiden kan ge stora skillnader. För att illustrera detta börjar
vi med att tänka oss en cirkel i planet. Punkter på cirkeln kan beskrivas av
vinkeln mellan punkten och :math:x-axeln längs cirkeln räknat moturs. Som ett
diskret dynamiskt system på cirkeln väljer vi då funktionen som fördubblar
vinklar. Vi kallar detta för fördubblingsavbildningen. För varje par av
punkter så kommer då vinkeln mellan dem att fördubblas för varje iteration.
Oavsett hur nära två punkter är varandra kommer dem alltså efter något antal
iterationer alltid vara längre än, säg, 90 grader från varandra.
Topologisk transitivitet betyder att om vi väljer två icketomma, öppna mängder och låter vårat dynamiska system verka på den ena så kommer dem efter en viss tid att skära varandra. Intuitivt betyder detta att varje samling av punkter med tiden kommer att sprida ut sig jämnt över hela fasrummet. Om vi återgår till fördubblingsavbildningen kan vi se hur detta ser ut i ett konkret exempel. Eftersom vinklar hela tiden fördubblas kommer varje cirkelbåge att med varje iteration bli dubbelt så stor. Oavsett hur liten cirkelbåge vi börjar med kommer den därför förr eller senare täcka hela cirkeln och kommer därför att skära varje annan cirkelbåge.
Slutligen har vi kravet att periodiska punkter ska vara täta i fasrummet. För
att förklara detta behöver vi gå igenom två koncept. En punkt :math:x i
fasrummet kallas periodisk om det finns någon tid :math:T så att
:math:F(T,x)=x. Punkten kommer alltså att röra på sig en viss tid för att
sedan återvända till sin startpunkt om och om igen. Att sådana punkter är täta
betyder att vi godtyckligt nära varje punkt i fasrummet alltid kan hitta en
periodisk punkt. Oavsett vilken punkt vi väljer och oavsett hur nära vi tittar
kommer vi alltid att se periodiska punkter. Detta kan jämföras med hur de
rationella talen är fördelade bland de reella talen. De periodiska punkterna för
fördubblingsavbildningen är täta i cirkeln. För att dra den slutsatsen behöver
vi först veta att de rationella talen är täta i de reella talen och att ett
rationellt tal har en binärutveckling som efter ett visst antal steg blir
periodisk, precis som att dess decimalutveckling blir periodisk. Effekten av
fördubblingsavbildningen är att flytta binärutvecklingen ett steg så varje punkt
på cirkeln med en rationell vinkel blir därför periodisk efter ett ändligt antal
steg. Sammantaget har vi nu informellt bevisat att fördubblingsavbildningen är
ett kaotiskt dynamiskt system och har därmed ytterliggare ett exempel.
Mer information
Här finns några länkar för de som vill läsa mer om dynamiska system, kaos, renormalisering eller mitt forskningsområde.
-
Dynamiska system <https://en.wikipedia.org/wiki/Dynamical_system>__ -
Kaosteori <https://en.wikipedia.org/wiki/Chaos_theory>__ -
Bifurkationsteori <https://en.wikipedia.org/wiki/Bifurcation_theory>__ -
Logistiska avbildningen <https://en.wikipedia.org/wiki/Logistic_map>__ -
Symplektiska avbildningar <http://www.scholarpedia.org/article/Symplectic_maps>__